Giả sử a, b là các số dương thỏa a2 + b2 = 7ab. Chứng minh \(2\log_2\left(\dfrac{a+b}{3}\right)=\log_2a+\log_2b\)
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 5 2023 lúc 17:25
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn b2 + c2 ≤ a2. Tìm Min:\(M=\dfrac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:
$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$
$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$
$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$
$=2+3=5$
Vậy $M_{\min}=5$
Đúng 3
Bình luận (0)
cho a,b là số hưu tỉ thỏa man: a2+b2=4-\(\left(\dfrac{ab+2}{a+b}\right)^2\)
Chứng minh \(\sqrt{ab+2}\)ϵQ
Đơn giản biểu thức sau :
\(D=\frac{\log_2\left(2a^2\right)+\left(\log_2a\right)a^{\log_2\left(\log_2a+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_2a^4}{\log_2a^3\left(3\log_2a+1\right)+1}\)
\(D=\frac{\log_2\left(2a^2\right)+\left(\log_2a\right)a^{\log_2\left(\log_2a+1\right)}+\frac{1}{2}\log^2_2a^4}{\log_2a^3\left(3\log_2a+1\right)+1}=\frac{1+2\log_2a+\log_2a\left(\log_2a+1\right)+8\log^2_2a}{3\log_2a.\left(3\log_2a+1\right)+1}\)
\(=\frac{9\log^2_2a+3\log_2a+1}{9\log^2_2a+3\log_2a+1}=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn: a2+b2+c2=1 .Chứng minh:
\(\dfrac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\dfrac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Ta chứng minh BĐT sau cho các số dương:
\(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^5-x^4y+y^5-xy^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\dfrac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)=2-\left(ab+ca+ca\right)\)
\(VT\ge4-\left(ab+bc+ca\right)-2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(VT\ge4\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2=3\left(ab+bc+ca\right)-2\) (đpcm)
Đúng 2
Bình luận (0)
cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a2-ab+\(\dfrac{3}{2}\)b2 chia hết cho 25. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 5.
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn
a
2
+
b
2
7
a
b
. Hệ thức nào sau đây là đúng?
Đọc tiếp
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 7 a b . Hệ thức nào sau đây là đúng?
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
a
2
+
b
2
7
a
b
. Hệ thức nào sau đây là đúng? A.
2
log
2
a
+
b
3
log
2
a
+
log...
Đọc tiếp
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 7 a b . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 2 log 2 a + b 3 = log 2 a + log 2 b
B. log 2 a + b 3 = 2 ( log 2 a + log 2 b )
C. 2 log 2 ( a + b ) = log 2 a + log 2 b
D. 4 log 2 a + b 6 = log 2 a + log 2 b
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn
a
2
+
b
2
7ab. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A
.
2
log
2
a
+
b
3
log
2
a
+
log
2...
Đọc tiếp
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a 2 + b 2 = 7ab. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A . 2 log 2 a + b 3 = log 2 a + log 2 b
B . log 2 a + b 3 = 2 ( log 2 a + log 2 b )
C . 2 log 2 ( a + b ) = log 2 a + log 2 b
D . 4 log 2 a + b 6 = log 2 a + log 2 b
1.cho a,b,c là các số dương thảo man: a+b+c1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Qdfrac{aleft(b+cright)}{a+1}+dfrac{bleft(c+aright)}{b+1}+dfrac{cleft(a+bright)}{c+1}
2.cho a,b,c dương thỏa man: a2+b2+c21
���+���+���abc+bac+cab
Đọc tiếp
1.cho a,b,c là các số dương thảo man: a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q=\(\dfrac{a\left(b+c\right)}{a+1}+\dfrac{b\left(c+a\right)}{b+1}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{c+1}\)
2.cho a,b,c dương thỏa man: a2+b2+c2=1
���+���+���